☛ Décomposer un vecteur

Énoncé

Soit un cube \(\mathrm{ABCDEFGH}\) . En utilisant la relation de Chasles, décomposer le vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{AG}}\)  en fonction des vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) ,  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{AE}}\) .

Solution

On utilise la relation de Chasles. On obtient : \(\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}}\) .
Or \(\mathrm{ABCD}\) est un carré, donc \(\mathrm{\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}}\) .
De plus, \(\mathrm{AEGC}\) est un rectangle, donc \(\mathrm{\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}}\) .
Conclusion :  \(\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}}\) .